La grille du kéno, calculée : combien de chances pour chaque rang

La matrice officielle : 80 numéros, 20 tirés, 10 cochés au maximum

L'article 2.3 du règlement fixe les dimensions de la grille : 80 numéros sont imprimés, et chaque tirage en extrait 20. On ne joue pas contre un voisin, mais contre cette matrice fixe, reproduite à chaque tirage. La grille est numérotée de 1 à 80, sans case vide ni numéro supplémentaire.

Le même article borne le choix du joueur : on coche entre 1 et 10 numéros. Le règlement n'autorise pas 11 croix, ni une grille laissée entièrement blanche. Cette limite de 10 n'est pas une recommandation de prudence, c'est une borne écrite dans le texte officiel.

Le barème publié couvre ensuite 37 rangs de gains, depuis 1 numéro trouvé sur 1 coché jusqu'à 10 numéros trouvés sur 10 cochés. Chaque rang correspond à une mise de référence de 2,50 dirhams. On peut donc lire la table comme une liste de montants en dirhams, pas comme des coefficients abstraits.

Le règlement ne précise pas pourquoi le maximum est fixé à 10 numéros cochés. On peut le constater, mais pas l'expliquer à partir du texte. Tout ce que la source indique, c'est que la grille en compte 80, que 20 sortent, et que le choix du joueur s'arrête à 10.

Ce que le règlement ne prévoit pas pour les combinaisons non payées

Quand on coche 10 numéros et qu'on en retrouve 4, le barème ne mentionne aucun gain. Ce rang n'est pas un oubli : il s'agit d'un proche, c'est-à-dire d'une combinaison qui existe mathématiquement mais que la table ne rémunère pas. La mise de 2,50 dirhams est alors perdue.

Un autre cas est différent : trouver 6 numéros alors qu'on en a coché 5. Cette situation est impossible, puisqu'on ne peut pas retrouver plus de numéros qu'on n'en a sélectionnés. Le règlement ne le dit pas explicitement, mais la structure même de la grille rend ce rang vide, pas simplement absent.

La distinction a une conséquence pratique. Un rang absent du barème peut survenir au tirage, et il ne rapporte rien. Un rang impossible ne survient jamais, quelle que soit la combinaison tirée. Le texte officiel ne publie pas cette distinction, mais elle découle directement de la lecture du tableau des lots.

Le règlement ne prévoit pas non plus de gain pour les rangs intermédiaires non listés, comme 3 numéros trouvés sur 10 cochés. La table est exhaustive : ce qui n'y figure pas ne paie pas. Aucun article ne laisse entendre qu'un rang oublié serait payé selon une règle implicite.

Le calcul d'une combinaison : pourquoi C(80,20) dépasse l'intuition

Le nombre total de tirages possibles s'obtient en combinant 20 numéros parmi 80. On écrit ce nombre C(80,20), et il vaut environ 3,535 × 10¹⁸. Autrement dit, plus de 3,5 millions de milliards de tirages différents peuvent sortir de la même matrice.

Ce dénominateur change tout dans la lecture des probabilités. Quand on coche 10 numéros, le nombre de façons d'en retrouver exactement 10 est C(10,10) × C(70,10), soit 1 × 8 233 430 654 760. La probabilité du rang 10/10 est donc ce produit divisé par C(80,20), ce qui donne environ 1 chance sur 8 911 711.

Pour un rang plus modeste, comme 5 numéros trouvés sur 10 cochés, le calcul suit la même logique : C(10,5) × C(70,15) divisé par C(80,20). Le numérateur devient 252 × 1 221 759 418 400, et la probabilité obtenue est d'environ 1 chance sur 19,2. Le gain de 5 dirhams pour une mise de 2,50 dirhams ne couvre pas le risque pris.

Le règlement ne fournit pas ces probabilités. Il publie la matrice et le barème, mais pas le calcul combinatoire qui relie les deux. C'est ce calcul qu'on doit faire soi-même pour comprendre que l'espérance de chaque mise reste négative, quel que soit le nombre de numéros cochés.

Probabilité du rang 10 sur 10 : un calcul montré, pas affirmé

Pour trouver les 10 numéros cochés parmi les 20 tirés, on applique la loi hypergéométrique. Le nombre de combinaisons gagnantes est C(10,10) multiplié par C(70,10), car les 10 autres numéros tirés doivent venir des 70 non cochés. On divise ensuite ce produit par C(80,20), qui représente toutes les grilles possibles au tirage.

Le calcul donne : 1 × 396 704 524 216 divisé par environ 3 535 316 142 212 174 000. La probabilité exacte s'écrit donc 1 sur 8 911 711, ce qui correspond à 0,0000112 %. Autrement dit, pour une mise de 2,50 dirhams, le rang 10 sur 10 ne survient qu'une fois sur près de neuf millions de grilles jouées.

Le règlement prévoit pour ce rang un gain de 1 000 000 de dirhams, mais la note du barème indique que ce montant est plafonné. L'article 8.4.2 précise que la somme publiée est un maximum, pas une garantie. La source ne détaille pas le mécanisme exact de ce plafonnement, ni le montant réellement versé si plusieurs grilles gagnent le même soir.

Ce que le texte ne prévoit pas, c'est une probabilité différente selon les numéros choisis. La matrice officielle ne contient aucune pondération : chaque numéro de 1 à 80 a la même chance d'apparaître, et le calcul reste identique quelle que soit la sélection du joueur.

Lignes calculées depuis la matrice officielle (80 numéros, 20 tirés) et le tableau des lots fourni par le règlement.

Les rangs intermédiaires : 9, 8, 7, 6 et 5 numéros trouvés sur 10 cochés

Pour 9 numéros trouvés sur 10 cochés, la formule devient C(10,9) × C(70,11) divisé par C(80,20). Le numérateur vaut 10 × 2 160 384 298 400, ce qui donne environ 21 603 842 984 000 combinaisons favorables. La probabilité s'établit à 1 sur 163 381, soit 0,000612 %.

Le rang 8 sur 10 se calcule avec C(10,8) × C(70,12), soit 45 × 4 928 568 431 040. On obtient 221 785 579 396 800 combinaisons gagnantes, et une chance de 1 sur 15 939. Pour 7 sur 10, le produit C(10,7) × C(70,13) donne 120 × 7 940 266 007 040, soit une probabilité de 1 sur 3 710.

Les rangs 6 et 5 sur 10 sont nettement plus accessibles. Le premier correspond à C(10,6) × C(70,14) = 210 × 10 593 426 267 200, soit 1 chance sur 1 588. Le second utilise C(10,5) × C(70,15) = 252 × 11 947 260 825 600, ce qui donne 1 chance sur 1 175.

Le barème prévoit pour ces rangs des gains de 10 000, 1 000, 100, 25 et 5 dirhams, toujours pour une mise de 2,50 dirhams. La source ne précise pas si ces montants intermédiaires sont également soumis au plafonnement de l'article 8.4.2, ni comment le plafond s'applique lorsque plusieurs joueurs atteignent le même rang.

Probabilités calculées par la loi hypergéométrique depuis la matrice officielle ; gains tirés du tableau des lots pour une mise de 2,50 MAD.

Ce que change le nombre de numéros cochés : comparer 10, 5 et 2 choix

Quand on coche 10 numéros, la probabilité de tous les trouver est de 1 sur 8 911 711. Si on n'en coche que 5, la formule devient C(5,5) × C(75,15) divisé par C(80,20). Le résultat est 1 sur 1 550, ce qui rend le rang maximal beaucoup plus fréquent, mais le gain correspondant tombe à 750 dirhams.

Avec 2 numéros cochés, le calcul donne C(2,2) × C(78,18) divisé par C(80,20), soit une probabilité de 1 sur 16,6. Le barème prévoit alors un gain de 27,50 dirhams pour une mise de 2,50 dirhams. On voit donc que la chance de trouver tous ses numéros augmente fortement quand on réduit la sélection, mais le gain diminue dans des proportions encore plus rapides.

L'espérance mathématique reste négative dans tous les cas. Pour 5 numéros cochés, par exemple, la probabilité de gagner 750 dirhams est de 1 sur 1 550, ce qui donne une contribution de 0,48 dirham par grille. Les autres rangs payés ajoutent quelques fractions de dirham, mais le total reste inférieur aux 2,50 dirhams misés.

La source ne fournit pas de tableau croisé indiquant l'espérance exacte pour chaque nombre de numéros cochés. Le règlement se contente de publier les gains par rang, sans calculer la part théorique reversée aux joueurs pour chaque configuration de grille.

Calculs effectués depuis la matrice officielle (80 numéros, 20 tirés) et le tableau des lots pour une mise de 2,50 MAD.

L'espérance mathématique : pourquoi elle reste négative

On peut calculer ce que rapporte une grille en moyenne à partir des probabilités et du barème officiel. Pour 10 numéros cochés, le rang 5 sur 10 paie 5 dirhams pour une mise de 2,5 dirhams, et sa probabilité est d'environ 5,1 %. En multipliant le gain par sa probabilité, on obtient une contribution d'environ 0,26 dirham par grille, ce qui est déjà inférieur à la mise.

L'espérance se construit en additionnant ces contributions pour chaque rang payé. Par exemple, le rang 6 sur 10 paie 25 dirhams avec une probabilité d'environ 1,1 %, soit une contribution d'environ 0,28 dirham. Le rang 7 sur 10 paie 100 dirhams avec une probabilité d'environ 0,16 %, soit environ 0,16 dirham. Ces montants s'accumulent mais ne couvrent jamais les 2,5 dirhams engagés.

Le règlement mentionne que la part théorique des mises revenant aux gagnants peut dépasser 60 %, ce qui signifie que la part conservée par l'opérateur reste structurellement présente. Aucun choix de numéros ne modifie cette proportion, car elle découle de la matrice et du barème, pas de la combinaison jouée.

Ce que le texte ne prévoit pas, c'est un rang dont l'espérance individuelle serait supérieure à la mise. Même les gains plafonnés des rangs pleins, comme 10 sur 10, ont une probabilité si faible que leur contribution à l'espérance reste minime. L'arithmétique ne laisse aucune place à un avantage pour le joueur.

Lignes calculées depuis la matrice officielle (80 numéros, 20 tirés) et le barème en dirhams pour une mise de 2,5 dirhams. Les probabilités sont arrondies.

L'indépendance des tirages : aucun numéro ne se souvient du précédent

Un tirage de kéno consiste à extraire 20 numéros parmi 80, sans remise, mais chaque tirage repart de la totalité des 80 numéros. Le résultat précédent ne retire aucun numéro de la grille pour le tirage suivant, et la probabilité qu'un numéro donné apparaisse reste identique d'un tirage à l'autre.

On peut le vérifier avec un exemple simple : la probabilité qu'un numéro choisi soit parmi les 20 tirés est de 20 sur 80, soit 25 %. Si ce numéro est sorti au tirage précédent, la probabilité qu'il sorte au tirage suivant est encore de 25 %, car le tirage ne conserve aucune mémoire. Les séries apparentes ne sont que des fluctuations de l'aléatoire.

Le règlement ne mentionne aucun mécanisme qui tiendrait compte des numéros passés, et la matrice officielle ne prévoit pas de pondération selon l'historique. Un numéro sorti dix fois de suite a exactement la même probabilité de sortir une onzième fois qu'un numéro qui n'est pas sorti depuis un mois.

Ce que le texte ne prévoit pas, c'est une règle qui rendrait certains numéros plus probables en fonction des tirages antérieurs. Les notions de numéros « chauds » ou « en retard » n'ont aucun fondement dans le fonctionnement réel du kéno, et aucun article du règlement ne les mentionne.

Les rangs avec zéro numéro trouvé : une particularité du barème marocain

Le barème officiel prévoit un gain pour les grilles où aucun numéro n'est trouvé, mais uniquement lorsque 10 ou 9 numéros ont été cochés. Pour 10 numéros cochés et 0 trouvé, le gain est de 10 dirhams pour une mise de 2,5 dirhams. Pour 9 numéros cochés et 0 trouvé, le gain est de 5 dirhams. Cette disposition est rare dans les jeux de type kéno.

La probabilité de ne trouver aucun numéro sur 10 cochés se calcule en considérant les 60 numéros non tirés parmi les 80. Le nombre de façons de choisir 10 numéros parmi ces 60 est C(60,10), et le nombre total de combinaisons possibles est C(80,10). Le rapport donne une probabilité d'environ 4,5 %, ce qui est plus élevé que celle du rang 6 sur 10.

Ce rang particulier change légèrement l'espérance pour les grilles à 10 et 9 numéros. La contribution du 0 sur 10 est d'environ 0,45 dirham par grille, soit plus que la contribution du rang 7 sur 10. Le barème compense ainsi une partie des pertes des rangs non payés, mais cette compensation reste très partielle.

Ce que le texte ne prévoit pas, c'est un gain pour 0 numéro trouvé lorsque 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 ou 1 numéros sont cochés. Dans ces cas, une grille sans aucun numéro trouvé est simplement perdante. Le tableau des lots officiel montre cette particularité uniquement pour les deux grilles les plus longues.

Lignes issues du barème officiel pour une mise de 2,5 dirhams. Les probabilités sont calculées depuis la matrice 80/20.

Le plafonnement des rangs maximaux : ce que dit l'article 8.4.2

Le barème officiel affiche des montants qui donnent une lecture immédiate de ce qu'un rang peut rapporter. Pour les rangs 10/10, 9/9, 8/8 et 7/7, cette lecture doit être corrigée : l'article 8.4.2 du règlement prévoit que ces sommes constituent des maximums, pas des montants garantis à chaque tirage. Le texte encadre donc les gains les plus élevés par une limite que la seule consultation du tableau ne laisse pas deviner.

En pratique, le joueur qui coche 10 numéros et les trouve tous les 10 ne reçoit pas automatiquement 1 000 000 de dirhams. Cette somme est le plafond que l'opérateur peut verser pour ce rang, selon les conditions prévues au règlement. La même logique s'applique aux 250 000 dirhams du 9/9, aux 37 500 dirhams du 8/8 et aux 10 000 dirhams du 7/7.

Ce que le texte ne précise pas, c'est le mécanisme exact qui détermine le montant réellement versé lorsque le plafond s'applique. Le règlement indique une limite, mais il ne publie pas la formule qui fixerait, tirage par tirage, la somme effectivement due en dessous de ce plafond. On reste donc sur une lecture prudente : ces quatre rangs sont bornés, et leur montant affiché vaut comme un seuil supérieur.

Pour comprendre l'ensemble du dispositif, la lecture du règlement officiel replace cet article dans la logique générale des mises et des versements. Elle évite de confondre un maximum réglementaire avec une promesse de gain, distinction que le tableau seul ne permet pas de faire.

Ce que le calcul ne permet pas de conclure : aucun système, aucune prédiction

Les probabilités calculées depuis la matrice officielle donnent une photographie exacte de ce qu'un tirage peut produire, mais elles s'arrêtent là. Aucun des chiffres présentés ne permet de construire un système de jeu, de repérer des numéros plus fréquents que d'autres ou d'anticiper le prochain tirage. L'arithmétique décrit des fréquences théoriques, elle ne fournit aucune information sur ce que sera le tirage de demain.

L'indépendance des tirages a déjà été établie : chaque tirage de 20 numéros sur 80 repart de la même matrice, sans mémoire des tirages précédents. Un numéro sorti trois fois de suite conserve exactement la même probabilité d'apparaître au tirage suivant qu'un numéro absent depuis plusieurs semaines. Les suites de résultats passés n'ont donc aucune valeur prédictive, et le calcul des combinaisons ne change rien à cette réalité.

Ce que le calcul ne couvre pas non plus, c'est la décision personnelle de jouer ou de ne pas jouer. Les montants en dirhams et les probabilités de chaque rang sont des données objectives, mais elles ne disent pas à quelqu'un s'il doit engager une mise de 2,5 dirhams. Cette décision relève d'un choix individuel que l'arithmétique éclaire sans jamais le prescrire.

Pour connaître les conditions concrètes d'achat d'une grille, le réseau physique et en ligne est décrit séparément, avec la distinction entre les points de vente encadrés au Maroc et les plateformes étrangères. On y trouve les informations pratiques, sans qu'aucune d'elles ne constitue une incitation à parier.

Questions fréquentes

Comment nous vérifions les chiffres

• Règlement officiel du kéno — article 2.3 — Atteste la matrice de 80 numéros, 20 tirés, et la possibilité de cocher de 1 à 10 numéros.
• Règlement officiel du kéno — barème des gains — Atteste les 37 rangs payés, les montants en dirhams pour une mise de 2,5 dh, et les rangs avec zéro trouvé.
• Règlement officiel du kéno — article 8.4.2 — Atteste le plafonnement des gains pour les rangs maximaux 10/10, 9/9, 8/8 et 7/7.
• Règlement officiel du kéno — article 8.1 — Atteste que la part théorique des mises revenant aux gagnants peut dépasser 60 %.